Question

若关于x的方程lg（-x²+mx-1）=lg（3-x）有两个不同的正数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：根据对数函数得出不等式m＞x+

1

x

，0＜x＜3有解，m≥2；再根据函数y=m，与函数y=x+

4

x

-1，有2个交点，得出3＜m＜

10

3

，总结即可得出实数m的取值范围．

解答： 解：∵关于x的方程lg（-x²+mx-1）=lg（3-x）有两个不同的正数解，
x＜3，-x²+mx-1＞0，
∴m=x+

4

x

-1有两个不同的正数解，且满足x＜3，-x²+mx-1＞0，
即不等式m＞x+

1

x

，0＜x＜3有解，
∴m≥2
∵函数y=m，与函数y=x+

4

x

-1，有2个交点，


当x=2时，x+

4

x

最小值为4，当x=3时，x+

4

x

的值为3+

4

3

=

13

3

当x=2时，x+

4

x

-1≥3，当x=3时，x+

4

x

-1=

13

3

-1=

10

3

∴3＜m＜

10

3

，
综上：实数m的取值范围（3，

10

3

）

点评：本题综合考察了对数函数的性质，方程的根与函数图象的交点，运用数形结合的思想解决问题，难度较大．