Question

已知{a_n}，是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S_n＞30n+400？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
（3）若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式a_n=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

（n为正整数），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式、一元二次不等式的解法即可得出；
（3）利用递推的意义可得：b_n=2ⁿ⁺¹（n≥2）．可得bn=

2，n=1 2n+1，n≥2

，即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，
∴a₃+a₆=a₂+a₇=16，
由

a3+a6=16 a3•a6=55

，解得：

a3=5 a6=11

或

a3=11 a6=5

，
∵d＞0，
∴

a3=5 a6=11

，
∴d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）当a_n=2n-1时，Sn=

n[1+(2n-1)]

2

=n2．
令n²＞30n+400，即n²-30n-400＞0，
解得n＞40或n＜-10（舍去），
此时存在正整数n，使得S_n＞30n+400成立，n的最小值为41．
（3）∵a_n=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

，
∴当n≥2时，a_n-1=

b1

2

+

b2

2

+…+

bn-1

2n-1

，
∴an-an-1=

bn

2n

(n≥2)，
∴

bn

2n

=2（n≥2），
∴b_n=2ⁿ⁺¹（n≥2）．
∴bn=

2，n=1 2n+1，n≥2

，
∴Tn=2+23+24+…+2n+1=2+

8(1-2n-1)

1-2

=2n+2-6，
当n=1时也成立．
∴T_n=2ⁿ⁺²-6．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．