Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N^*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）设g（x）=f（x）-x²+m，若函数y=log_mg（x）（m＞0且m≠1）在区间[-2，4]上单调递增，求实数m的取值范围；
（3）设函数h（x）=log₂[t-f（x）]，讨论此函数在定义域范围内的零点个数．

Answer 1

考点：二次函数的性质,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件①②即可求出a，或c的范围，再根据a，c∈N^*即可求得a=1，c=2；
（2）求出g（x）=2x+2+m，则g（x）＞0，即m＞-2x-2在[-2，4]上恒成立，从而求得m＞2，而根据函数y=log_mg（x）（m＞0且m≠1）在区间[-2，4]上单调递增，从而得到y′=

2

(2x+m+2)lnm

＞0，所以lnm＞0，m＞1，最后即得m的取值范围m＞2；
（3）先使函数h（x）有意义，则得到t＞x²+2x+2=（x+1）²+1，所以t＞1；要判断h（x）的零点，所以令h（x）=0，从而得到t=x²+2x+3=（x+1）²+2，从而根据直线y=t和抛物线y=x²+2x+3的交点情况，即可得到函数h（x）取得零点的情况．

解答： 解：（1）由f（1）=5得，a+2+c=5，∴c=3-a    ①；
由6＜f（2）＜11得，6＜4a+4+c＜11         ②；
∴①带入②得-

1

3

＜a＜

4

3

，∵a∈N^*；
∴a=1，c=2；
（2）依题意有g（x）=2x+2+m，则：
y=log_m（2x+2+m）在区间[-2，4]上单调递增；
∴y′=

2

(2x+m+2)lnm

＞0在[-2，4]上恒成立；
∴

lnm＞0 2x+m+2＞0

；
∴m＞1，且m＞-2x-2在[-2，4]上恒成立；
-2x-2在[-2，4]上的最大值为2；
∴m＞2；
∴实数m的取值范围为（2，+∞）；
（3）由函数h（x）知：t＞f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1；
∴t＞1；
令h（x）=0，则：
t-f（x）=1；
即：t=x²+2x+3=（x+1）²+2；
∴当1＜t＜2时，函数y=t与抛物线y=x²+2x+3无交点，即函数h（x）无零点；
当t=2时，函数y=t与抛物线y=x²+2x+3只有一个交点，即函数h（x）有一个零点；
当t＞2时，函数y=t与抛物线y=x²+2x+3有两个交点，即函数h（x）有两个零点．

点评：考查配方法解决二次函数最值问题，以及直线和抛物线交点的情况和对应方程解的情况的关系，以及函数零点的概念．