Question

11．设数列{a_n}的通项公式为${a_n}={（\frac{3}{2}）^{n-1}}$，则满足不等式$\sum_{i=1}^n{\frac{3}{a_i}}＞\sum_{i=1}^n{a_i}$的正整数n的集合为{1，2，3}．

Answer 1

分析 由等比数列的前n项和公式，可得$9[1-{（\frac{2}{3}）}^{n}]$＞$2[{（\frac{3}{2}）}^{n}-1]$，结合指数的运算性质，可得${（\frac{3}{2}）}^{n}$＜$\frac{9}{2}$，解得答案．

解答 解：∵${a_n}={（\frac{3}{2}）^{n-1}}$，
∴$\sum _{i=1}^{n}\frac{3}{{a}_{i}}$=$\frac{3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=$9[1-{（\frac{2}{3}）}^{n}]$，$\sum _{i=1}^{n}{a}_{i}=\frac{1-（\frac{3}{2}）^{n}}{1-\frac{3}{2}}$=$2[{（\frac{3}{2}）}^{n}-1]$，
若$\sum_{i=1}^n{\frac{3}{a_i}}＞\sum_{i=1}^n{a_i}$，则$9[1-{（\frac{2}{3}）}^{n}]$＞$2[{（\frac{3}{2}）}^{n}-1]$，
∴$\frac{{（\frac{3}{2}）}^{n}-1}{1-{（\frac{2}{3}）}^{n}}$=${（\frac{3}{2}）}^{n}$＜$\frac{9}{2}$，
解得：m=1，n=2，n=3，
∴满足不等式$\sum_{i=1}^n{\frac{3}{a_i}}＞\sum_{i=1}^n{a_i}$的正整数n的集合为{1，2，3}，
故答案为：{1，2，3}

点评 本题考查的知识点是等比数列的前n项和公式，指数不等式的解法，难度中档．