[题目]已知长方形. . .以的中点为原点.建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求以为焦点.且过两点的椭圆的标准方程,的条件下.过点作直线与椭圆交于不同的两点.设.点坐标为.若.求的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知长方形，，，以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)求以为焦点，且过两点的椭圆的标准方程；

(2)在(1)的条件下，过点作直线与椭圆交于不同的两点，设，点坐标为，若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）确定的坐标，利用椭圆的定义，求出几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，结合配方法，即可求的取值范围.

试题解析：(1)由题意可得点的坐标分别为，， .设椭圆的标准方程是，则，∴.∴，∴椭圆的标准方程为.

(2)由题意容易验证直线的斜率不为0，故可设直线的方程为.代入中，得.设，，由根与系数关系，得①，②，∵，∴且，将上式①的平方除以②，得，即，所以，由，即.∵，，，又， .故 .令，∵，∴，，，∵，∴， .

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