Question

【题目】如图在正方体中中，

（1）求异面直线所成的角；

（2）求直线D1B与底面所成角的正弦值；

（3）求二面角大小的正切值.

Answer 1

【答案】(1) ; (2); （3）.

【解析】试题分析：（1）连接AC，AD1，∠AD1C即为BC1与CD1所成角；

（2）DD1⊥平面ABCD，∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角；

（3）连接BD交AC于O，则DO⊥AC，∠D1OD为二面角D1﹣AC﹣D的平面角.

试题解析：

（1）连接AC，AD1，如图所示：

∵BC1∥AD1，

∴∠AD1C即为BC1与CD1所成角，

∵△AD1C为等边三角形，

∴∠AD1C=60°，

故异面直线BC1与CD1所成的角为60°；

（2）∵DD1⊥平面ABCD，

∴∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，

在Rt△D1DB中，sin∠D1DB==

∴直线D1B与平面ABCD所成角的正弦值为；

（3）连接BD交AC于O，则DO⊥AC，

根据正方体的性质，D1D⊥面AC，

∴D1D⊥AC，D1D∩DO=D，

∴AC⊥面D1OD，∴AC⊥D1O，

∴∠D1OD为二面角D1﹣AC﹣D的平面角．

设正方体棱长为1，

在直角三角形D1OD中，DO=，DD1=1，

∴tan∠D1OD=．