Question

【题目】设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（ ）
A.y=3x+1
B.y=﹣3x
C.y=﹣3x+1
D.y=3x﹣3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f′（x）=3x2+2ax+（a﹣3），因为f′（x）是偶函数，
所以f′（﹣x）=f′（x）恒成立，即3（﹣x）2﹣2ax+（a﹣3）=3x2+2ax+（a﹣3）恒成立，
所以a=0，所以f′（x）=3x2﹣3，
所以f′（0）=﹣3，所以曲线y=f（x）在原点处的切线方程是y=﹣3x，
故选：B
【考点精析】利用函数奇偶性的性质和基本求导法则对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．