Question

8．已知数列{a_n}，a₁=1，a₂=2，前n项和为S_n，且满足（S_n+2-S_n+1）-2（S_n+1-S_n）=2，n∈N^*，则{a_n}的通项a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n}-2，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由（S_n+2-S_n+1）-2（S_n+1-S_n）=2，n∈N^*，化为：a_n+2-2a_n+1=2，化为a_n+2+2=2（a_n+1+2），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵（S_n+2-S_n+1）-2（S_n+1-S_n）=2，n∈N^*，
∴a_n+2-2a_n+1=2，
化为a_n+2+2=2（a_n+1+2），
∴数列{a_n+1+2}是等比数列，公比为2，
∴a_n+1+2=4×2^n-1，可得a_n=2ⁿ-2（n≥2），
则{a_n}的通项a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n}-2，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n}-2，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．