Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短轴长为2$\sqrt{2}$，右焦点为F．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点M（3，t）且与椭圆C有且仅有一个公共点P，过点P作直线PF交椭圆于另一个点Q．
①证明：当直线OM与直线PQ的斜率k_OM，k_PQ均存在时，k_OMk_PQ为定值；
②求△PQM面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=$\sqrt{2}$，椭圆的离心率公式，即可求得a和c的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）①设直线方程，代入椭圆方程，由△=0，分别求得k_OM，k_PQ，即可求得k_OM•为定值；
②设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式，求得S_△PQM=$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{（{t}^{2}+1）^{3}}{（{t}^{2}+3）^{2}}}$，根据函数的单调性即可求得△PQM面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：2b=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
由题意的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a²=6，则c²=a²-b²=4，
故椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程：y=kx+m，
由点M（3，t）在直线上，则t=3k+m，联立直线与椭圆方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}-6=0}\end{array}\right.$，
可得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，
又直线与椭圆只有一个公共点，故△=0，即m²=6k²+2；
由韦达定理，可得P点坐标（-$\frac{3km}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$），
由直线PQ过椭圆右焦点为F（2，0），则直线PQ的斜率k_PQ=k_PF=$\frac{m}{-3km-2-6{k}^{2}}$；
而直线OM的斜率，则k_OM=$\frac{t}{3}$=$\frac{3k+m}{3}$：
k_OM•k_PQ=$\frac{3k+m}{3}$•$\frac{m}{-3km-2-6{k}^{2}}$=$\frac{3km+{m}^{2}}{-3km-（2+6{k}^{2}）}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{3km+{m}^{2}}{-（3km+{m}^{2}）}$•$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$．
②由$\overrightarrow{FM}$=（1，t），$\overrightarrow{FP}$=（$\frac{-3km-2-6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$），则$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FP}$=$\frac{mt-3km-2-6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=0，
即FM⊥PF，
∴三角形的面积S_△PQM=$\frac{1}{2}$丨PQ丨丨MF丨，
丨MF丨=$\sqrt{1+{t}^{2}}$，由直线FM的斜率为t，可得直线PQ的方程：x=-ty+2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
与椭圆方程联立可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-ty+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+t²）y²-4ty-2=0，
则y₁+y₂=$\frac{4t}{3+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{t}^{2}}$，则丨PQ丨=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}（{t}^{2}+1）}{{t}^{2}+3}$，
则S_△PQM=$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{（{t}^{2}+1）^{3}}{（{t}^{2}+3）^{2}}}$，令t²+3=m，（m＞0），则S_△PQM=$\sqrt{6}$•$\sqrt{（{m}^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{{m}^{\frac{2}{3}}}）^{3}}$，
由函数的单调性可知：y=$\sqrt{（{m}^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{{m}^{\frac{2}{3}}}）^{3}}$，单调递增，
故S_△PQM=$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{（{t}^{2}+1）^{3}}{（{t}^{2}+3）^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$，当t=0时，△PQM面积的最小值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴△PQM面积的最小值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查圆锥曲线与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．