Question

18．设S_n是数列{a_n}的前n项和，已知${a_1}≠0，2{a_n}-{a_1}={S_1}•{S_n}，n∈{N^*}$．
（1）求a₂，a₃，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式求出数列的a₂，a₃，判断数列是等比数列，求出通项公式．
（2）利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）令n=1，得2a₁-a₁=a₁²．即a₁=a₁²，
∵a₁≠0，∴a₁=1，
令n=2，得2a₂-1=1•（1+a₂），解得a₂=2，
当n≥2时，由2a_n-1=S_n得，2a_n-1-1=S_n-1，
两式相减得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1，即数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（2）由（1）知，na_n=n•2^n-1，设数列{na_n}的前n项和为T_n，
则T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）2ⁿ．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．