Question

13．已知△ABC的三个顶点A（0，2），B（0，4），C（1，3），其外接圆为圆M
（1）求圆M的方程；
（2）若直线l过点D（$\frac{1}{2}$，2），且被圆M截得的弦长为$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（3）设点P为圆M上异于A，B的任意一点，直线PA交x轴于点E，直线PB交x轴于点F，问以EF为直径的圆N是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求方程；
（2）对直线l是否存在斜率进行讨论，利用垂径定理列方程解出；
（3）设PA的斜率为k，则PB的斜率为-$\frac{1}{k}$，求出E，F的坐标得出圆N的方程化简，根据方程特点得出结论．

解答 解：（1）设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{4+2E+F=0}\\{16+4E+F=0}\\{10+D+3E+F=0}\end{array}\right.$，解得D=0，E=-6，F=8．
∴圆M的方程为x²+y²-6y+8=0．
（2）圆M的圆心为M（0，3），半径r=1．
①若直线l无斜率，即直线l方程为x=$\frac{1}{2}$，
此时圆心M到直线l的距离d=$\frac{1}{2}$，
∴直线l被圆M截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{3}$，符合题意；
②若直线l有斜率，设直线l的方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$）+2，即kx-y-$\frac{1}{2}k$+2=0，
∴圆心M到直线的距离d=$\frac{|1-\frac{1}{2}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{3}{4}$．∴直线l的方程为$\frac{3}{4}x-y+\frac{13}{8}=0$，即6x-8y+13=0，
综上，直线l的方程为x=$\frac{1}{2}$或6x-8y+13=0．
（3）设直线PA斜率为k，则直线PB的斜率为-$\frac{1}{k}$，
∴直线PA的方程为y=kx+2，直线PB的方程为y=-$\frac{1}{k}$x+4，
∴E（-$\frac{2}{k}$，0），F（4k，0）．
∴N（2k-$\frac{1}{k}$，0），圆N的半径为$\frac{|EF|}{2}$=|2k+$\frac{1}{k}$|，
∴以EF为直径的圆N的方程为（x-2k+$\frac{1}{k}$）²+y²=（2k+$\frac{1}{k}$）²，
即x²+y²-2（2k-$\frac{1}{k}$）x-8=0，
令x=0得y=±2$\sqrt{2}$．
∴圆N过定点（0，2$\sqrt{2}$）和（0，-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了圆的方程与性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．