Question

19．已知各项均为正数的数列{a_n}的首项a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，则$\frac{3}{34}$S₁₂=3．

Answer 1

分析 根据题意，利用等比数列的前n项和公式求出通项公式a_n，进一步求出数列对应的前n项和公式，再计算$\frac{3}{34}$S₁₂的值．

解答 解：∵a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，且S_n+1=S_n+a_n+1，
∴（a_n-a_n+1）S_n+$\frac{1}{2}$a_na_n+1+a_n-a_n+1=0，
∴S_n+$\frac{{{a}_{n}a}_{n+1}}{2{（a}_{n}{-a}_{n+1}）}$+1=0；
又∵a₁=1，令n=1，则1+$\frac{{a}_{2}}{2（1{-a}_{2}）}$+1=0，解得a₂=$\frac{4}{3}$，
同理可得a₃=$\frac{5}{3}$，
猜想a_n=$\frac{n+2}{3}$；
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=$\frac{1+2}{3}$=1，成立；
②假设当n≤k（k∈N^*）时成立，a_k=$\frac{k+2}{3}$，则S_k=$\frac{k（1+\frac{k+2}{3}）}{2}$=$\frac{k（k+5）}{6}$；
∵S_k+$\frac{{{a}_{k}a}_{k+1}}{2{（a}_{k}{-a}_{k+1}）}$+1=0，
∴$\frac{k（k+5）}{6}$+$\frac{\frac{k+2}{3}{•a}_{k+1}}{\frac{k+2}{3}{-a}_{k+1}}$+1=0，
解得a_k+1=$\frac{k+3}{3}$；
因此当n=k+1时也成立，
综上，对于n∈N^*，a_n=$\frac{n+2}{3}$都成立；
由等差数列的前n项和公式得，S_n=$\frac{n（n+5）}{6}$；
∴$\frac{3}{34}$S₁₂=$\frac{3}{34}$×$\frac{12×（12+5）}{6}$=3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系、数学归纳法的应用问题，也考查了猜想归纳推理能力与计算能力，是中档题．