Question

如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．
（1）若CP平分∠ACB，求证：AP=2QO．
（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题．①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE的面积为S．试求S与x的函数关系式；②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．

Answer 1

分析：（1）过点O作OM∥AB交PC于点M，则∠COM=∠CAB，证明∠OMQ=∠OQM，即可得出结论；
（2）①分类讨论求出AP，可得△APE的面积S与x的函数关系式；②利用配方法可求函数的最值．

解答：（1）证明：过点O作OM∥AB交PC于点M，则∠COM=∠CAB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°，∴AP=2OM．
又∵∠1=∠2，∴∠1+∠COM=∠2+∠CBD，
即∠OMQ=∠OQM．
∴OM=OQ，∴AP=2OQ．
（2）解：根据题意①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F，
则∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°．
又∠2+∠CPB=90°，∴∠3=∠2．
又PE由PC绕点P旋转形成，∴PE=PC，∴△EPF≌△CPB．
∴EF=BP=x，∴AP=1-x，
∴S_△APE=

1

2

AP•EF=

1

2

(1-x)x．
∴△APE的面积S与x的函数关系式为S=-

1

2

x2+

1

2

x（0＜x＜1）．
ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时，作EG⊥AB交AB延长线于点G，
则同理可得△EPG≌△CPB，EG=BP=x．
∴△APE的面积S与x的函数关系式为S=-

1

2

x2+

1

2

x．
由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与x的函数关系式为S=-

1

2

x2+

1

2

x，（0＜x＜1）．
②由①知S与x的函数关系式为S=-

1

2

x2+

1

2

x，（0＜x＜1）．
即S=-

1

2

(x-

1

2

)2+

1

8

，（0＜x＜1）．
∴当x=

1

2

时S的值最大，最大值为

1

8

．
此时点P所在的位置是边AB的中点处．

点评：本题考查三角形的全等，考查三角形面积的计算，考查函数的最值，确定函数解析式是关键．