Question

.（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在X轴上，椭圆短半轴长为1，动点  在直线上。
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以线段OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作直线OM的垂线与以线段OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。

Answer 1

解（1）又由点M在准线上，得          ………2分
故，   从而                          
所以椭圆方程为                                 ……………4分
（2）以OM为直径的圆的方程为
即                                
其圆心为,半径                                ……………6分
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离            ……………8分
所以，解得
所求圆的方程为                          ……………10分
（3）方法一：设过点F作直线OM的垂线, 垂足为K,由平几知：
直线OM：，直线FN：          ……12分
由得
所以线段ON的长为定值。
所以线段ON的长为定值…………14分

解析