Question

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦， MNAB，求证：为定值

Answer 1

解：椭圆的顶点为，即
，解得，  椭圆的标准方程为 …… 3分
（2）由题可知,直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②设存在直线为，且，.
由得，                     
，，

=  
所以，故直线的方程为或 …………8分
（3）设,
由（2）可得：  |MN|=
=.
由消去y，并整理得： ，
|AB|=，∴ 为定值

解析