【题目】如图在四棱锥中,底面
是边长为
的正方形,侧面
底面
,且
,设
、
分别为
、
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)求直线与平面
所成角的大小.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】
试题分析:(1)为平行四边形,连结
,
为
中点,
为
中点,由三角形中位线定理可得
,利用线面平行的判定定理可得结论;(2)利用面面垂直的性质可得
,三角形
为等腰直角三角形,可得
;从而可得
面
,根据面面垂直的判定定理可得结果 ;(3)直线
与平面
所成角即为直线
与平面
所成角即
,又
,故所求角为
.
试题解析:(1)证明:为平行四边形,连结
,
为
中点,
为
中点,∴在
中
且
平面
,
平面
,
∴平面
.
(2)证明:因为面面
,平面
面
,
为正方形,
,
平面
,
所以平面
,∴
,
又,所以
是等腰直角三角形,且
即
,
,且
、
面
,
面
,
又面
,面
面
.
(3)直线与平面
所成角即为直线
与平面
所成角即
,又
,故所求角为
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、面面垂直的判定与性质,属于难题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.
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【题目】已知函数的一段图象如图所示.
(1)求该函数的解析式;
(2)求该函数的单调增区间;
(3)该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的?
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【题目】已知函数(
).当点
在函数
图象上运动时,对应的点
在函数
图象上运动,则称函数
是函数
的相关函数.
(1)解关于的不等式
;
(2)对任意的,
的图象总在其相关函数图象的下方,求
的取值范围;
(3)设函数,
.当
时,求
的最大值.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos
=a,且点P在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)曲线的极坐标方程为
.若
与
交于
两点,求
的值.
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【题目】已知数列的前
项和为
,对一切正整数
,点
都在函数
的图象上,记
与
的等差中项为
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列
的前
项和
;
(Ⅲ)设集合,
,等差数列
的任意一项
,其中
是
中的最小数,且
,求
的通项公式.
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【题目】如图,在三棱锥S一ABC中,SA=AB=AC=BC=SB=
SC,O为BC的中点
(1)求证:SO⊥平面ABC
(2)在线段AB上是否存在一点E,使二面角B—SC-E的平面角的余弦值为?若存在,求
的值,若不存在,试说明理由
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【题目】某学校共有教师300人,其中中级教师有120人,高级教师与初级教师的人数比为.为了解教师专业发展要求,现采用分层抽样的方法进行调查,在抽取的样本中有中级教师72人,则该样本中的高级教师人数为__________.
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【题目】从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.
试问:(1)能组成多少个不同的五位偶数?
(2)五位数中,两个偶数排在一起的有几个?
(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个?(所有结果均用数值表示)
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