Question

函数满足f（1）=1，且f（x）在R上的导数f′（x）＞

1

2

，则不等式f（lnx）-

1

2

lnx＜

1

2

的解集为（　　）

• A、（0，1）
• B、（0，e）
• C、（1，+∞）
• D、（e，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：综合题,导数的综合应用

分析：令g（x）=f（x）-

x

2

，证明g（x）在R上的增函数，不等式f（lnx）-

1

2

lnx＜

1

2

转化为g（x）＜g（1），即可得出结论．

解答： 解：因为f′（x）＞

1

2

，所以f′（x）-

1

2

＞0，
令g（x）=f（x）-

x

2

，则g（x）在R上的增函数，
∵不等式f（lnx）-

1

2

lnx＜

1

2

，f（1）=1，
∴f（lnx）-

1

2

lnx＜f（1）-

1

2

，
∴g（x）＜g（1），
∴lnx＜1，
∴0＜x＜e，
∴不等式f（lnx）-

1

2

lnx＜

1

2

的解集为（0，e）．
故选：B．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式，令g（x）=f（x）-

x

2

，确定g（x）在R上的增函数是解题的关键．