Question

16．当n≥2，n∈N^*时，设f（n）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）•…•（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）．
（Ⅰ）求f（2）、f（3）、f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（n）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）•…•（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），可求得a₁，a₂，a₃的值，
（Ⅱ）从而可猜想f（n）的表达式，按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=1时命题成立，再假设当n=k时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题对任意n≥2，n∈N^*，等式都成立．

解答 解：（Ⅰ）f（2）=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）=$\frac{3}{4}$，f（3）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{6}$，f（4）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$；
（Ⅱ）猜想f（n）=$\frac{n+1}{2n}$，（n≥2，n∈N^*），
证明　（1）当n=2时，左边=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，右边=$\frac{2+1}{2×2}$=$\frac{3}{4}$，∴n=2时等式成立．
（2）假设当n=k（n≥2，n∈N^*）时等式成立，即f（k）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）•…•（1-$\frac{1}{{k}^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$，
那么当n=k+1时，f（k+1）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）•…•（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$•（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$•$\frac{{k}^{2}+2k}{（k+1）^{2}}$=$\frac{k+2}{2（k+1）}$=$\frac{k+1+1}{2（k+1）}$
∴当n=k+1时，等式也成立，
根据（1）和（2）知，对任意n≥2，n∈N^*，等式都成立．

点评 本题考查数学归纳法，考查推理证明的能力，假设n=k（k∈N^*）时命题成立，去证明则当n=k+1时，用上归纳假设是关键，属于中档题．