Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x}{1+x}$，数列{a_n}满足a₁=a（a为常数，且a＞0），a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由由已知得，${a_{n+1}}=f（{a_n}）=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，可求得a₂，a₃，a₄的值，从而可猜想{a_n}的一个通项公式．
（Ⅱ）按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=1时命题成立，再假设当n=k时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题对任意的正整数n恒成立．

解答 解：（Ⅰ）由已知得，${a_{n+1}}=f（{a_n}）=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，
所以${a_2}=f（{a_1}）=\frac{a}{1+a}$，${a_3}=f（{a_2}）=\frac{{\frac{a}{1+a}}}{{1+\frac{a}{1+a}}}=\frac{a}{1+2a}$，${a_4}=f（{a_3}）=\frac{{\frac{a}{1+2a}}}{{1+\frac{a}{1+2a}}}=\frac{a}{1+3a}$，
由此猜想数列的通项公式应为${a_n}=\frac{a}{1+（n-1）a}（n∈{N^*}）$…（6分）
（Ⅱ）①当n=1时，猜想显然成立…（7分）
②假设n=k（k∈N^*）时，猜想成立，即${a_k}=\frac{a}{1+（k-1）a}$…（8分）
则当n=k+1时，${a_{k+1}}=f（{a_k}）=\frac{a_k}{{1+{a_k}}}=\frac{{\frac{a}{1+（k-1）a}}}{{1+\frac{a}{1+（k-1）a}}}=\frac{a}{1+ka}=\frac{a}{1+[（k+1）-1]a}$，
即当n=k+1时，猜想成立．…（11分）
由①②知，${a_n}=\frac{a}{1+（n-1）a}$对一切正整数n都成立．…（12分）

点评 本题考查数学归纳法，考查推理证明的能力，假设n=k（k∈N^*）时命题成立，去证明则当n=k+1时，用上归纳假设是关键，属于中档题．