Question

20．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{2}$，其上下顶点分别为C₁，C₂，点A（1，0），B（3，2），AC₁⊥AC₂．
（1）求椭圆E的方程及离心率；
（2）点P的坐标为（m，n）（m≠3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AC₁⊥AC₂，可得$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{A{C}_{2}}$=1-b²=0，又2c=2$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，即可得出．
（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明：①当取M$（\sqrt{3}，0）$，N$（-\sqrt{3}，0）$时，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列即可证明．
②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（t²+3）y²+2ty-2=0，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列、根与系数的关系化简即可证明．

解答 解：（1）∵AC₁⊥AC₂，C₁（0，b），C₂（0，-b），A（1，0），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{A{C}_{2}}$=1-b²=0，∴b²=1．
∵2c=2$\sqrt{2}$，解得c=$\sqrt{2}$，∴a²=b²+c²=3．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明：
①当取M$（\sqrt{3}，0）$，N$（-\sqrt{3}，0）$时，k_MB=$\frac{2}{3-\sqrt{3}}$，k_BP=$\frac{2-n}{3-m}$，k_NB=$\frac{2}{3+\sqrt{3}}$，
∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，∴2×$\frac{2-n}{3-m}$=$\frac{2}{3-\sqrt{3}}$+$\frac{2}{3+\sqrt{3}}$，化为：m=n+1．
②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty+1=x}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（t²+3）y²+2ty-2=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2t}{{t}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-2}{{t}^{2}+3}$．
k_MB=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$，k_BP=$\frac{2-n}{3-m}$，k_NB=$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$，
∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，
∴2×$\frac{2-n}{3-m}$=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$，
由于$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$=$\frac{（{y}_{1}-2）（t{y}_{2}-2）+（{y}_{2}-2）（t{y}_{1}-2）}{（t{y}_{1}-2）（t{y}_{2}-2）}$=$\frac{2t{y}_{1}{y}_{2}-（2t+2）（{y}_{1}+{y}_{2}）+8}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-2t（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}$=2，
∴$\frac{2-n}{3-m}$=1，化为：m=n+1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．