Question

9．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．
（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BC=2，求三棱锥A-BDM的体积．

Answer 1

分析 （I）由平面CMD⊥平面BCD可得OM⊥平面BCD，又AB⊥平面BCD，得出OM∥AB，从而得出OM∥平面ABD；
（II）过O作OH⊥BD，则可证OH⊥平面ABD．于是V_A-BDM=V_M-ABD=V_O-ABD．

解答 （Ⅰ）证明：∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，点O为CD的中点，
∴OM⊥CD．
∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM?平面CMD，
∴OM⊥平面BCD．
∵AB⊥平面BCD，
∴OM∥AB．
又∵AB?平面ABD，OM?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OM∥平面ABD，
∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离
过O作OH⊥BD，垂足为点H，
∵AB⊥平面BCD，OH?平面BCD，
∴OH⊥AB．
∵AB?平面ABD，BD?平面ABD，AB∩BD=B，
∴OH⊥平面ABD．
∵AB=BC=2，△BCD是等边三角形，
∴BD=2，OD=1，$OH=OD•sin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴V_A-BDM=V_M-ABD=V_O-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB•BD•OH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴三棱锥A-BDM的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．