Question

18．数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n-1+2a_n-a_n-1=0（n≥2），则使得a_k＞$\frac{1}{2016}$的最大正整数k为（　　）

• A． 5
• B． 7
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由a_n•a_n-1+2a_n-a_n-1=0（n≥2），变形为：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{a}_{n-1}}$+1，变形为$\frac{1}{{a}_{n}}$=1=2$（\frac{1}{{a}_{n-1}}+1）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：由a_n•a_n-1+2a_n-a_n-1=0（n≥2），变形为：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{a}_{n-1}}$+1，变形为$\frac{1}{{a}_{n}}$=1=2$（\frac{1}{{a}_{n-1}}+1）$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比数列，首项为2，公比为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
又a₁₀=$\frac{1}{{2}^{10}-1}$=$\frac{1}{1023}$，
a₁₁=$\frac{1}{{2}^{11}-1}$=$\frac{1}{2047}$，
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．