Question

3．已知曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1有相同的焦点，曲线C₁的离心率是曲线C₂的离心率的$\sqrt{5}$倍．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程；
（Ⅱ）设点A是曲线C₁的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C₁的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题知：a²+b²=2，曲线C₂的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，利用曲线C₁的离心率是曲线C₂的离心率的$\sqrt{5}$倍，求出a，b，即可求曲线C₁的方程；
（Ⅱ）由于研究直线恒过定点，求出AC的方程，令y=0，求出x可得（x与直线AB斜率k无关），可证直线AC恒过定点就可解决．

解答 （Ⅰ）解：由题知：a²+b²=2，曲线C₂的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$…（2分）
∵曲线C₁的离心率是曲线C₂的离心率的$\sqrt{5}$倍，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\sqrt{5}×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$即a²=b²，…（3分）
∴a=b=1，∴曲线C₁的方程为x²-y²=1；                     …（4分）
（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+$\sqrt{2}$ …（5分）
与双曲线方程x²-y²=1联立，可得（n²-1）y²+2$\sqrt{2}$ny+1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{2}n}{{n}^{2}-1}$，y₁y₂=$\frac{1}{{n}^{2}-1}$，…（7分）
由题可设点C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y₂），
由点斜式得直线AC的方程：y-y₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{\sqrt{2}}{2}-{x}_{1}}$（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）              …（9分）
令y=0，可得x=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=$\frac{-3n-\frac{3\sqrt{2}}{2}{y}_{1}（1-{n}^{2}）}{-2\sqrt{2}n-2{y}_{1}（1-{n}^{2}）}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$       …（11分）
∴直线AC过定点（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，0）．                                         …（12分）

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．