Question

11．已知点P（x，y）是直线l：y=kx+2（k＞0）上一动点，过P作圆（x-2）²+（y-2）²=1的切线，当切线长最短为$\sqrt{2}$时，此时直线l的斜率k=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心坐标和半径，把过直线l：y=kx+2（k＞0）上的点P作圆的切线，切线长最短转化为圆心到直线l的距离最短，由题意求得圆心到直线的距离，再代入点到直线的距离公式得答案．

解答 解：由圆（x-2）²+（y-2）²=1，
得圆的圆心坐标为（2，2），半径为1，
要使切线长最短，即圆心到直线l：y=kx+2（k＞0）的距离最短，
∵圆的半径为1，切线长为$\sqrt{2}$，
∴圆心到直线l：y=kx+2（k＞0）的距离等于$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{3}$．
再由点到直线的距离公式得$\frac{|2k-2+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得：k=$-\sqrt{3}$（舍）或k=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的切线方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是中档题．