Question

6．在三棱锥P-ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2$\sqrt{3}$，PA⊥平面ABC，若三棱锥P-ABC的外接球的表面积为24π，则该三棱锥的体积为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 作出草图，根据底面△ABC与截面圆的关系计算截面半径，根据球的面积计算球的半径，利用勾股定理计算球心到截面的距离，得出棱锥P-ABC的高．

解答 解过A作平面ABC所在球截面的直径AD，连结BD，CD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADC=∠ADB=30°．
∴∠BCD=∠CBD=∠BDC=60°．即△BCD是等边三角形．
∵BC=2$\sqrt{3}$，∴AD=1+3=4．
过球心O作OM⊥平面ABC，则M为AD的中点，
∴AM=2．
设外接球半径为r，则4πr²=24π，∴r=$\sqrt{6}$．即OA=$\sqrt{6}$．
∴OM=$\sqrt{2}$．
∵PA⊥平面ABC，
∴PA=2OM=2$\sqrt{2}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1×2\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和思维能力，考查计算能力，是中档题．