Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且与y轴正半轴的交点为（0，1）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与C交于A、B两点，AB=2，求△AOB的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1；从而解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$；从而写出椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，从而可得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），从而可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}+16-16{b}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=2，从而化简方程可得4b²=$\frac{12{k}^{2}+3}{1+{k}^{2}}$；代入面积公式S=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{4{b}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{12{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，从而求最值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵与y轴正半轴的交点为（0，1），
∴b=1；
∴a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，
与椭圆方程联立消元化简可得，
（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8kb}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{b}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$；
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}+16-16{b}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=2，
∴2$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{1+4{k}^{2}-{b}^{2}}$=（1+4k²）²，
∴12k²+3=4b²（1+k²），
∴4b²=$\frac{12{k}^{2}+3}{1+{k}^{2}}$；
S=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{4{b}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{12{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，
∵$\frac{12{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{12}{1+{k}^{2}}$-$\frac{9}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=-9（$\frac{1}{1+{k}^{2}}$-$\frac{2}{3}$）²+4，
∴当$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，即k²=$\frac{3}{2}$时，有最大值4；
∴S_max=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{4}$=1．

点评 本题考查了椭圆的方程的求法与圆锥曲线与直线的位置关系的应用，同时考查了学生的化简运算能力，属于中档题．