Question

16．双曲线C的一条渐近线方程是：x-2y=0，且曲线C过点$（2\sqrt{2}，1）$．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设曲线C的左、右顶点分别是A₁、A₂，P为曲线C上任意一点，PA₁、PA₂分别与直线l：x=1交于M、N，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的渐近线方程利用待定系数法进行求解即可．
（2）联立方程组求出交点坐标，结合两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：（1）由渐近线方程可知，双曲线C的方程为x²-4y²=k，把$（2\sqrt{2}，1）$代入可得k=4，
所以双曲线方程为$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．（4分）
（2）由双曲线的对称性可知，P在右支上时，|MN|取最小值．
由上可得A₁（-2，0），A₂（2，0），根据双曲线方程可得$\frac{y}{x-2}•\frac{y}{x+2}=\frac{1}{4}$，
所以设直线PA₁、PA₂的斜率分别为k₁、k₂（k₁、k₂＞0），
则${k_1}{k_2}=\frac{1}{4}$．PA₁的方程为y=k₁（x+2），令x=1，解得M（1，3k₁）
，PA₂的方程为y=k₂（x-2），令x=1，解得N（1，-k₂），
所以|MN|=$|{3{k_1}-（-{k_2}）}|=3{k_1}+{k_2}≥2\sqrt{3{k_1}{k_2}}=\sqrt{3}$．
当且仅当3k₁=k₂，即${k_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}，{k_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时等号成立．（12分）

点评 本题主要考查双曲线方程的求解以及两点间距离的计算，考查学生的运算能力．