Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n+a_n-3=0，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{2}$log₂（1-S_n+1），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过3S_n+a_n-3=0与3S_n-1+a_n-1-3=0作出可知a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，进而可知数列{a_n}是首项为$\frac{3}{4}$、公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵3S_n+a_n-3=0，
∴当n≥2时，3S_n-1+a_n-1-3=0，
两式相减得：a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，
又∵3S₁+a₁-3=0，即a₁=$\frac{3}{4}$，
∴数列{a_n}是首项为$\frac{3}{4}$、公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，
故其通项公式a_n=$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{3}{{4}^{n}}$；
（2）由（1）可知1-S_n+1=1-$\frac{1}{3}$（3-a_n+1）=$\frac{1}{{4}^{n+1}}$，
∴b_n=$\frac{1}{2}$log₂（1-S_n+1）=-n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，涉及对数的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．