Question

3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，现从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的体积是（　　）

• A． $\frac{9π}{4}$-$\frac{1}{6}$
• B． $\frac{9π}{16}$-$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{9π}{16}$-$\frac{1}{6}$
• D． $\frac{9π}{8}$-$\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 由题意，确定几何体为三棱锥，设三棱锥外接球的半径为r，则r²=（1-r）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，求出r，即可求出三棱锥外接球的体积以及三棱锥的体积，然后求差即可．

解答 解：由题意，几何体是三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点，
设三棱锥外接球的半径为r，则r²=（1-r）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
∴r=$\frac{3}{4}$，
∴三棱锥外接球的体积为$\frac{9}{16}$π；又三棱锥的体积$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{6}$，
所以从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的体积是$\frac{9π}{16}-\frac{1}{6}$；
故选C．

点评 本题考查球和几何体之间的关系，本题解题的关键是确定三棱锥外接球的半径，从而得到外接球的表面积