Question

6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2A=cosA，a=2$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$S_△ABC=a²+b²-c²．
（1）求角A；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二倍角的余弦公式，求得cosA的值，可得A的值．
（2）由条件利用余弦定理求得tanC的值，可得C的值，利用正弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac•sinB，计算求得结果．

解答 解：（1）△ABC中，由cos2A=cosA得 2cos²A-cosA-1=0，所以，cosA=-$\frac{1}{2}$，或cosA=1．
因为0＜A＜π，所以，cosA=-$\frac{1}{2}$，A=$\frac{2π}{3}$．
（2）由a=2$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC=a²+b²-c²，可得2$\sqrt{3}$ab•sinC=a²+b²-c² ，
即$\sqrt{3}$sinC=cosC，即tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴C=$\frac{π}{6}$．
又由正弦定理有 $\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{c}{sin\frac{π}{6}}$，可得c=2，
又sinB=sin（π-$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查二倍角的余弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．