Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$c，则ab的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． 3

Answer 1

分析 由正弦定理将2ccosB=2a+b，转化成2sinC•cosB=2sin A+sinB，由三角形内角和定理，将sin A=sin（B+C），利用两角和的正弦公式展开，化简求得，
sinC的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab的最小值．

解答 解：由正弦定理，有$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，又2c•cosB=2a+b，得
2sinC•cosB=2sin A+sinB，
由A+B+C=π，得sin A=sin（B+C），
则2sinC•cosB=2sin（B+C）+sinB，即2sinB•cosC+sinB=0，
又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC=-$\frac{1}{2}$，
因为0＜C＜π，得C=$\frac{2π}{3}$，
则△ABC的面积为S_△=$\frac{1}{2}$ab sinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，即c=3ab，
由余弦定理，得c²=a²+b²-2ab cosC，化简，得a²+b²+ab=9a²b²，
∵a²+b²≥2ab，当仅当a=b时取等号，
∴2ab+ab≤9a²b²，即ab≥$\frac{1}{3}$，故ab的最小值是$\frac{1}{3}$．
故答案选：B．

点评 本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合，属于中档题．