Question

8．已知圆O：x²+y²=9，点A（2，0），点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

Answer 1

分析 设AP的中点为M，切点为N，连OM，MN，通过|OM|+|MN|=|ON|=3，推出|OM|+|MN|=3．说明点P的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为6的椭圆．然后求解动点P的轨迹方程．

解答 解：设AP的中点为M，切点为N，连OM，MN，则|OM|+|MN|=|ON|=3，
取A关于y轴的对称点A′，连A′P，
故|A′P|+|AP|=2（|OM|+|MN|）=6．
所以点P的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为6的椭圆．
其中，a=3，c=2，b=$\sqrt{5}$，则动点P的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查轨迹方程的求法，判断轨迹的椭圆简化解题的过程，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．