Question

1．如图，在三角形ABC中，AB=x，BC=1，O是AC的中点，∠BOC=45°，记点C到AB的距离为h（x）．
（1）求h（x）的表达式，并注明x的取值范围；
（2）求h（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过设OB=a，OA=OC=b，利用根据余弦定理计算可知4abcos45°=x²-1，通过三角形面积公式计算可知h（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$，利用基本不等式计算可知1＜x≤$\sqrt{2}$+1；
（2）通过（1）求导可知h（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$在区间（1，$\sqrt{2}$+1]上单调递增，进而计算可得结论．

解答 解：（1）作CE垂直AB，OD垂直AB，
设OB=a，OA=OC=b，由根据余弦定理有：
a²+b²-2abcos45°=1，a²+b²+2abcos45°=x²，
两式相减得到：4abcos45°=x²-1，
∵S_△AOB=S_△COB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$absin45°=$\frac{1}{2}$•$\frac{x}{2}$•h（x），即h（x）=$\frac{2}{x}$absin45°，
消去a、b后得到：h（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$，
一方面显然x²-1＞0，即x＞1，
另一方面，a²+b²≥2ab，即$\frac{{x}^{2}+1}{2}$≥2•$\frac{{x}^{2}-1}{2\sqrt{2}}$，
综上所述，1＜x≤$\sqrt{2}$+1；
（2）由（1）可知，h′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$=$\frac{2x•2x-2（{x}^{2}-1）}{（2x）^{2}}$=$\frac{1+2{x}^{2}}{4{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$在区间（1，$\sqrt{2}$+1]上单调递增，
∴h_max（x）=$\frac{（\sqrt{2}+1）^{2}-1}{2（\sqrt{2}+1）}$=1．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，涉及考查余弦定理的运用、三角形面积、基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．