Question

15．要使$\root{3}{a}$+$\root{3}{b}$＜$\root{3}{a+b}$成立，则a，b应满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＜0}\\{|a|＞|b|}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{b＞0}\\{|b|＞|a|}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{b＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据不等式的基本性质求出a，b满足的条件即可．

解答 解：∵$\root{3}{a}$+$\root{3}{b}$＜$\root{3}{a+b}$，
∴${（\root{3}{a}+\root{3}{b}）}^{3}$＜${（\root{3}{a+b}）}^{3}$，
∴a+b+3$\root{3}{{a}^{2}b}$+3$\root{3}{{ab}^{2}}$＜a+b，
∴3$\root{3}{{a}^{2}b}$+3$\root{3}{{ab}^{2}}$＜0，
∴a²b+ab²＜0，
∴ab（a+b）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab＞0}\\{a+b＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ab＜0}\\{a+b＞0}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＜0}\\{|a|＞|b|}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{b＞0}\\{|b|＞|a|}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{b＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键，本题是一道中档题．