Question

3．如图，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，且|OB|=2|OA|，则该双曲线的离心率为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 联立方程组求出交点坐标，结合距离公式进行求解即可．

解答 解：双曲线的左焦点为F（-c，0），
过F作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，
则直线方程为：y=x+c，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{ac}{b-a}}\\{y=\frac{bc}{b-a}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{ac}{b-a}$，$\frac{bc}{b-a}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$得A（-$\frac{ac}{a+b}$，$\frac{bc}{a+b}$），
∵|OB|=2|OA|，
∴|OB|²=4|OA|²，
即（$\frac{ac}{b-a}$）²+（$\frac{bc}{b-a}$）²=4[（-$\frac{ac}{a+b}$）²+（$\frac{bc}{a+b}$）²]，
整理得4（b-a）²=（a+b）²，
即3a²-10ab+3b²=0，
即（a-3b）（3a-b）=0，
得a=3b，或b=3a，
∵B在第一象限，∴$\frac{ac}{b-a}$＞0，$\frac{bc}{b-a}$＞0，
则b＞a，即a=3b不成立，
则b=3a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+9{a}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{10}$，

故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查双曲线的离心率的计算，根据条件求出交点坐标，结合距离公式进行转化是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．