Question

8．已知圆C的圆心为点C（0，3），点R（$\sqrt{3}$，2）在圆C上，直线l过点A（-1，0）且与圆C相交P，Q两点，点M是线段PQ的中点．
（1）求圆C的方程：
（2）若$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AC}$=9，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用两点间距离公式可求出圆C的半径，进而可得结论；
（2）通过设直线l的方程为：y=k（x+1），利用△ACM为直角三角形，化简可知${\overrightarrow{AM}}^{2}$=9，进而利用点到直线的距离公式及勾股定理计算即得结论．

解答 解：（1）∵圆C的圈心为点C（0，3），点R（$\sqrt{3}$，2）在圆C上，
∴圆C的半径r=|CR|=$\sqrt{（\sqrt{3}-0）^{2}+（2-3）^{2}}$=2，
∴圆C的方程为：x²+（y-3）²=4；
（2）依题意，设直线l的方程为：y=k（x+1），
∵点M是线段PQ的中点，
∴CM⊥PQ，且△ACM为直角三角形，
又∵$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AM}$•（$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{MC}$）=${\overrightarrow{AM}}^{2}$=9，
∴AM=3，
∵CM=$\frac{|0-3+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，AC=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AC²=CM²+AM²，即10=$\frac{（3-k）^{2}}{1+{k}^{2}}$+9，
解得：k=$\frac{4}{3}$，
从而直线l的方程为y=$\frac{4}{3}$（x+1）．

点评 本题考查直线与圆的方程的应用，考查数形结合能力，涉及点到直线的距离公式、两点间距离公式、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．