Question

(本题满分14分)
如图所示，在正三棱柱ABC -A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC₁上任意一点，E是A₁B₁的中点。

（I）求证：A₁B₁//平面ABD；
（II）求证：AB⊥CE；
（III）求三棱锥C-ABE的体积。

Answer 1

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）见解析；
(Ⅲ) 。

本题给出所有棱长都相等的正三棱柱，求证线面平行并求三棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定和柱体锥体的体积公式等知识，属于中档题．
（I）根据三棱柱的侧面ABB₁A₁是平行四边形，得A₁B₁∥AB，再结合线面平行的判定定理，可得A₁B₁∥平面ABD；
（II）取AB中点F，连接EF、CF．根据线面垂直的性质证出EF⊥AB，结合正△ABC中，中线CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，从而可得AB⊥CE；
（III）由三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高，得三棱锥E-ABC的体积等于正三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的 ，求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积，从而得出三棱锥E-ABC的体积，即得三棱锥C-ABE的体积．
解：（Ⅰ）证明：由正三木棱住的性质知∥AB，
因为，
所以∥平面ABD.……………………………………4分
（Ⅱ）设AB中点为G，连结GE，GC。

又EG∥，
又
而…………………………９分
(Ⅲ)由题意可知：
………………………1４分