Question

3．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinC}=\frac{8}{3}$
（1）求$\frac{sinB}{sinAsinC}$的值；
（2）若sinB=$\frac{4}{5}$，求a：b：c的值．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的性质和正弦定理，结合条件即可得到所求；
（2）分别求得sinA，sinC，再由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC，代入计算即可得到比值．

解答 解：（1）a，b，c成等差数列，即有2b=a+c，
由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，
由$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinC}=\frac{8}{3}$，即为$\frac{sinA+sinC}{sinAsinC}$=$\frac{2sinB}{sinAsinC}$=$\frac{8}{3}$，
则$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{4}{3}$；
（2）若sinB=$\frac{4}{5}$，则由（1）得sinAsinC=$\frac{3}{5}$，
又$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinC}=\frac{8}{3}$，
解得sinA=1，sinC=$\frac{3}{5}$或sinC=1，sinA=$\frac{3}{5}$．
故a：b：c=sinA：sinB：sinC
=5：4：3或3：4：5．

点评 本题考查等差数列的性质和正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．