Question

已知函数f（x）=3x⁴-8x³-18x²+a．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[-1，1]上的最大值为6，求f（x）在该区间上的最小值．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=12x³-24x²-36x=12x（x+1）（x-3），由此能求出函数f（x）的单调递区间．
（2）由（1）知f（x）在[-1，0]单调递增，在[0，1]单调递减．故f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=a，由已知a=6，于是f（x）=3x⁴-8x³-18x²+6，由此能求出f（x）在区间[-1，1]上的最小值．

解答：解：（1）f'（x）=12x³-24x²-36x=12x（x+1）（x-3）．…（2分）
由f'（x）＞0，得-1＜x＜0或x＞3；
由f'（x）＜0，得x＜-1或0＜x＜3．
所以函数f（x）的单调递增区间为（-1，0）和（3，+∞）；
单调递减区间为（-∞，-1）和（0，3）．…（6分）
（2）由（1）知f（x）在[-1，0]单调递增，在[0，1]单调递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=a，
由已知a=6…（8分）
于是f（x）=3x⁴-8x³-18x²+6，
由于f（-1）=-1，f（1）=-17，
故f（x）在区间[-1，1]上的最小值为-17…（12分）

点评：本题考查函数f（x）的单调区间的求法，求f（x）在已知区间上的最小值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．