Question

设直线l：2x+y-2=0与椭圆x²+

y2

4

=1的交点为A、B，点P是椭圆上的动点，则使△PAB面积为

1

3

的点P的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把直线方程与椭圆方程联立求得交点A和B的坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，再根据三角形的面积求出AB边上的高，设出P的坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离即为AB边上的高，得到关于a和b的方程，把P代入椭圆方程得到关于a与b的另一个关系式，两者联立利用根的判别式判断出a与b的值有几对即可得到交点有几个．

解答： 解：联立

2x+y-2=0 x2+ y2 4 =1

，解得

x=0 y=2

或

x=1 y=0

，则A（0，2），B（1，0），
∴AB=

(0-1)2+(2-0)2

=

5

，
∵△PAB的面积为

1

3

，
AB边上的高为

2 5

15

．
设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a²+

b2

4

=1，
P到直线2x+y-2=0的距离d=

|2a+b-2|

5

=

2 5

15

，即6a+3b-8=0或6a+3b-4=0；
联立得：

6a+3b-8=0 a2+ b2 4 =1

①或

6a+3b-4=0 a2+ b2 4 =1

②，
把①中的b消去得：18a²-24a+7=0，
∵△=（-24）²-4×18×7=72＞0，∴a有两个不相等的根，则对应的b也有两个不等的根，满足题意的P的坐标有两个；
由②消去b得：18a²-12a-5=0，
∵△=（-12）²+4×18×5＞0，∴a有两个不相等的根，则对应的b也有两个不等的根，满足题意的P的坐标有两个．
综上，使△PAB面积为

1

3

的点P的个数为4．
故选：B．

点评：本题考查学生会求直线与椭圆的交点坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．同时要求学生会利用根的判别式判断方程解的情况，是中档题．