Question

已知椭圆C的焦点与双曲线

y2

3

-x²=1的顶点重合，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若已知直线y=x+m，当m为何值时，直线y=x+m与椭圆C有公共点？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线的顶点，得到c=

3

，椭圆C的长轴长为4，则有a=2，即有b=1．即可得到椭圆方程；
（2）联立直线y=x+m和椭圆方程，消去y，得到5x²+8mx+4m²-4=0，当判别式△≥0时，直线y=x+m与椭圆C有公共点．解出不等式即可．

解答： 解：（1）双曲线

y2

3

-x²=1的顶点为（0，±

3

），
则椭圆C的焦点为（0，±

3

），则c=

3

，
椭圆C的长轴长为4，则有a=2，即有b=1．
则椭圆C的标准方程为：

x2

4

+y²=1；
（2）联立直线y=x+m和椭圆方程，消去y，得到
5x²+8mx+4m²-4=0，
当判别式△≥0时，直线y=x+m与椭圆C有公共点．
即有（8m）²-4×5×（4m²-4）≥0，
解得，-

5

≤m≤

5

故当m∈[-

5

，

5

]，直线y=x+m与椭圆C有公共点．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．