Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，平面内一点P（2，1），M是指圆上任意一点，F是椭圆右焦点．
（1）求|MP|+

5

4

|MF|的最小值；
（2）F₁为左焦点，M是椭圆上任意一点，求|

MP

|+|

MF1

|的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意画出图形，利用椭圆的第二定义，把|MF|转化到右准线的距离，利用“两点间的距离最短”和条件，求出最小值；
（2）连结MF₁，作过P、F的直线交椭圆于M₁、M₂两点．根据椭圆的定义算出|

MP

|+|

MF1

|=MP|+（2a-|MF|）=10+（|MP|-|MF|），由平面几何知识得-|PF|≤|MP|-|MF|≤|PF|，再利用两点间的距离公式加以计算，可得|

MP

|+|

MF1

|的最值．

解答： 解：（1）椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的a=5，b=3，则c=4，右准线l：x=

25

4

，
离心率为e=

4

5

，由题意的第二定义，可知e=

|MF|

|MK|

，
则有|MP|+

5

4

|MF|=|MP|+|MK|，
显然当M，P，K共线时，|MP|+|MK|最小，
过M作MD垂直于直线l，垂足为D，则最小值为：

25

4

-2=

17

4

，
即有|MP|+

5

4

|MF|的最小值为

17

4

；
（2）∵|MF₁|+|MF|=2a=10，
∴|MF₁|=10-|MF|，
则|

MP

|+|

MF1

|=10-|MF|+|MP|=6+（|MP|-|MF|），
当点M位于M₁时，|MP|-|MF|的差最小，其值为-|PF|=-

5

此时，|

MP

|+|

MF1

|也得到最小值，其值为10-

5

；
当点M位于M₂时，|MP|-|MF|的差最大，其值为|PF|=

5

此时|

MP

|+|

MF1

|也得到最大值，其值为10+

5

．

点评：本题给出椭圆的右焦点为F，点P是椭圆内一个定点，求椭圆上动点M到P、F两点的距离和的最小值．着重考查了两点间的距离公式、椭圆的定义与标准方程等知识，属于中档题．