Question

函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-4x+3．
（1）求f（x）；           
（2）指出f（x）的单调区间；
（3）若当x∈[a，2a+1]时，f（x）的最大值为3，求a的取值集合．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先设x＜0，则-x＞0，根据已知的函数解析式结合偶函数的定义式即可求出x＜0时的解析式，则问题获解；
（2）根据二次函数的性质和图象即可得函数的单调区间；
（3）借助于函数图象即可得到区间[a，2a+1]要满足的关系式．

解答： 解：（1）函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-4x+3．
若x＜0，可得-x＞0，f（-x）=x²+4x+3，可得f（x）=f（-x）=x²+4x+3，
所以f(x)=

x2-4x+3，x≥0 x2+4x+3，x＜0

．
（2）由（1）得以f(x)=

x2-4x+3，x≥0 x2+4x+3，x＜0

．
画出f（x）的图象如下：

由图象可知：f（x）的单调增区间为：（2，+∞）和（-2，0）；单调减区间为：（-∞，-2）和（0，2）；
（3）因为当x∈[a，2a+1]时，f（x）的最大值为3，结合（2）的图象可以知道a与2a+1肯定在-4和4之间移动，
∴

0≤2a+1≤4 -4≤a≤0

解得-

1

2

≤a≤0，
若2a+1=4可得a=

3

2

，也满足题意；
∴a的取值集合：{a|-

1

2

≤a≤0或a=

3

2

}．

点评：本题考查了利用函数的奇偶性确定函数的解析式、研究函数的图象进一步研究函数的性质．属于基础题，难度不大．