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设Sn为数列{an}的前n项和,若
S2nSn
(n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”.
(1)若数列{2 bn}是首项为2,公比为4的等比数列,试判断数列{bn}是否为“和等比数列”;
(2)若数列{cn}是首项为c1,公差为d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,试探究d与c1之间的等量关系.
分析:(1)根据数列{2 bn}是首项为2,公比为4的等比数列,根据等比数列的通项公式求得bn,数列{bn}的前n项和为Tn,根据等比数列的求和公式求得Tn和T2n,进而可求得
T2n
Tn
=4
,判断出数列{bn}为“和等比数列”;
(2)设数列{cn}的前n项和为Rn,且
R2n
Rn
=k(k≠0)
,根据等差数列的求和公式求得Rn和R2n,代入
R2n
Rn
=k
中,求得d=2c1
解答:解:(1)因为数列{2 bn}是首项为2,
公比为4的等比数列,
所以2 bn=2•4n-1=22n-1
因此bn=2n-1.
设数列{bn}的前n项和为Tn
则Tn=n2,T2n=4n2,所以
T2n
Tn
=4

因此数列{bn}为“和等比数列”;

(2)设数列{cn}的前n项和为Rn,且
R2n
Rn
=k(k≠0)

因为数列{cn}是等差数列,
所以Rn=nc1+
n(n-1)
2
d
R2n=2nc1+
2n(2n-1)
2
d

所以
R2n
Rn
=
2nc1+
2n(2n-1)
2
d
nc1+
n(n-1)
2
d
=k
对于n∈N*都成立,
化简得,(k-4)dn+(k-2)(2c1-d)=0,
(k-4)d=0
(k-2)(2c1-d)=0
,因为d≠0,所以k=4,d=2c1
因此d与c1之间的等量关系为d=2c1
点评:本题主要考查了等比数列的性质.在高考中等比数列常用对数函数、不等式、极限等知识综合考查,应多注意等比数列与其他知识的联系.
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设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-
1
2n
,n∈N+,则a2+a4+a6+…+a100=
1
3
(1-
1
2100
)
1
3
(1-
1
2100
)

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设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λan-1(λ为常数,n=1,2,3,…).
(I)若a3=a22,求λ的值;
(II)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在.请说明理由
(III)当λ=2时,若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n=1,2,3,…),且b1=
3
2
,令cn=
an
(an+1) bn
,求数列{cn}的前n项和Tn

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(Ⅰ)设Sn为数列{an}的前n项和,求anbn和Sn
(Ⅱ)设Cn=
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(n∈N*),Rn=C1+C2+…+Cn,求Rn

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(1)若数列{
Sn
}
为等差数列,求p的值;
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(3)在(2)的条件下,令b1=a1,bn=a2n-1,其前n项和为Tn,求Tn关于n的表达式.

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设Sn为数列{an}的前N项和,且有S1=a,Sn+Sn-1=3n2,n=2,3,4,…
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{an}是单调递增数列,求a的取值范围.

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