Question

11．已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）-3^x]=4，则f（log₃5）=6．

Answer 1

分析 因为f（x）是R上的增函数，所以若f（x）-3^x不是常数，则f[f（x）-3^x]便不是常数．而已知f[f（x）-3^x]=4，所以f（x）-3^x是常数，设f（x）-3^x=m，所以f（m）=4，f（x）=3^x+m，所以f（m）=3^m+m=4，容易知道该方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3^x+1，所以便可求出f（log₃5）．

解答 解：根据题意得，f（x）-3^x为常数，设f（x）-3^x=m，则f（m）=4，f（x）=3^x+m；
∴3^m+m=4，易知该方程有唯一解，m=1；
∴f（x）=3^x+1；
∴f（log₃5）=5+1=6．
故答案为：6．

点评 对于单调函数，当自变量的值是变量时，函数值也是变量，考查单调函数零点的情况．