Question

19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a、b、c，且a=b，sinA+cosC=0．
（1）求角A的大小； 
（2）若BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由a=b得A=B，由内角和定理可得C=π-2A，代入已知的式子利用诱导公式、二倍角公式化简，求出sinA的值，由内角的范围求出角A；
（2）由（1）求出角C，在△ABM中由余弦定理列出方程，由正弦定理列出方程，化简求出a、b、c的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由a=b得A=B，所以C=π-2A，…（2分）
因为sinA+cosC=0，所以sinA+cos（π-2A）=0，则sinA-cos2A=0，
即2sin²A+sinA-1=0，
解得sinA=$\frac{1}{2}$或sinA=-1（舍），
由A=B知角A为锐角，故$A=\frac{π}{6}$．   …（6分）
（2）由A=B=$\frac{π}{6}$得C=$\frac{2π}{3}$，
在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为$\sqrt{7}$，
在△ABM中，由余弦定理得$A{M}^{2}={c}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-2c•\frac{a}{2}•cos\frac{π}{6}$，
则7=${c}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}ac$    ①…（8分）
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{a}{sin\frac{π}{6}}=\frac{b}{sin\frac{π}{6}}=\frac{c}{sin\frac{2π}{3}}$，
 即a=b=$\frac{c}{\sqrt{3}}$            ②…（10分）
由①②解得a=b=2、c=2$\sqrt{3}$； …（12分）
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$． …（13分）

点评 本题考查正弦、余弦定理，诱导公式、二倍角公式，以及三角形的面积公式，注意内角的范围，属于中档题．