Question

13．已知函数y=$\frac{a{x}^{2}-8x+b}{{x}^{2}+1}$的值域是[1，9]，则a+b=10．

Answer 1

分析 化简可得1≤$\frac{a{x}^{2}-8x+b}{{x}^{2}+1}$≤9，且等号可以取到；从而可得$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜0}\\{64-4（1-a）（1-b）=0}\\{9-a＞0}\\{64-4（9-a）（9-b）=0}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：∵函数y=$\frac{a{x}^{2}-8x+b}{{x}^{2}+1}$的值域是[1，9]，
∴1≤$\frac{a{x}^{2}-8x+b}{{x}^{2}+1}$≤9，且等号可以取到；
∴（1-a）x²+8x+1-b≤0恒成立且（9-a）x²+8x+9-b≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜0}\\{64-4（1-a）（1-b）=0}\\{9-a＞0}\\{64-4（9-a）（9-b）=0}\end{array}\right.$，
解得，a=b=5，
故答案为：10．

点评 本题考查了函数的值域的应用．