Question

14．已知函数f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{3x+q}$是奇函数，且f（2）=$\frac{5}{3}$．
（1）求实数p，q的值；
（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性．
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接根据奇函数的定义确定有关参数的值；
（2）借助于导数求解函数的单调增区间和减区间．
（3）判断函数的极值和单调性，即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{p+2}{-3x+q}$=-$\frac{p+2}{3x+q}$，
即-3x+q=-3x-q，
∴q=0，
∵f（2）=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{4p+2}{3×2}$=$\frac{5}{3}$，即4p=8，
∴p=2，
∴实数p，q的值分别为2，0；
（2）f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{x}$=2x+$\frac{2}{x}$=2（x+$\frac{1}{x}$），
则f′（x）=2（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{2（{x}^{2}-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0得x＜-1或x＞1，令f′（x）＜0得-1＜x＜1，因为x≠0，
所以f（x）的增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
减区间为（-1，0），（0，1）．
（3）由（2）知，当x＞0时，f（x）＞0，且当x=1时，函数取得极小值f（1）=4，此时f（x）≥4，
当x＜0时，f（x）＜0，且当x=-1时，函数取得极大值f（-1）=-4，此时f（x）≤-4，
综上f（x）≥4，或f（x）≤-4，
即函数的值域为（-∞，-4]∪[4，+∞）

点评 本题重点考查了函数是奇函数的重要性质，利用导数研究函数的单调性问题，属于中档题．