Question

3．设直线nx+（n+1）y=$\sqrt{2}（n∈{N^*}）$与两坐标轴围成的三角形面积为S_n，则S₁+S₂+S₃+…S₂₀₁₃的值为（　　）

• A． $\frac{2014}{2015}$
• B． $\frac{2011}{2012}$
• C． $\frac{2012}{2013}$
• D． $\frac{2013}{2014}$

Answer 1

分析 直线nx+（n+1）y=$\sqrt{2}（n∈{N^*}）$，可得与坐标轴的交点分别为：$（\frac{\sqrt{2}}{n}，0）$，$（0，\frac{\sqrt{2}}{n+1}）$，于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为S_n=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵直线nx+（n+1）y=$\sqrt{2}（n∈{N^*}）$，
∴与坐标轴的交点分别为：$（\frac{\sqrt{2}}{n}，0）$，$（0，\frac{\sqrt{2}}{n+1}）$，
∴直线与两坐标轴围成的三角形面积为S_n=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{n}×\frac{\sqrt{2}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则S₁+S₂+S₃+…S₂₀₁₃的值=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}）$
=1-$\frac{1}{2014}$
=$\frac{2013}{2014}$．
故选：D．

点评 本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．