Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0．给出下列命题
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[-2，2]上有5个零点
（3）点（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
（4）直线x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
则正确的是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=0，求f（1）；
（2）由题意可得f（0）=f（1）=f（-1）=f（2）=f（-2）=0；
（3）证明f（2014+x）=-f（2014-x）即可；
（4）由于（3）正确，故（4）不正确．

解答： 解：（1）由题意，令x=0，则f（-1）=f（1），即-f（1）=f（1），则f（1）=0；
（2）由题意，f（0）=0，f（1）=f（-1）=0，f（2）=f（1-1）=f（0）=0，f（-2）=0，
则f（x）在[-2，2]上有5个零点；
（3）由f（x-1）=f（x+1）可知，f（x）以2为周期，
∵f（2014+x）=f（x），f（2014-x）=f（-x）=-f（x），
∴f（2014+x）=-f（2014-x），
∴点（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，
（4）由于（3）正确，故（4）不正确；
故答案为：（1）（2）（3）．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于中档题．